algebrafan.uz

Алгебра по-новому!

Свойства алгебраических операций

На странице описание алгебраических операций мы узнали, что в школьной алгебре изучается шесть алгебраических операций: четыре арифметические, возведение в степень и модуль. Также, мы познакомились с терминологией этих операций: узнали, что такое сумма, разность, произведение, слагаемое, уменьшаемое, вычитаемое, множитель и др. Теперь мы готовы приступить к более подробному изучению алгебраических операций: на этой странице будут рассмотрены их свойства, без которых невозможно научиться правильно выполнять эти операции и использовать их в разных задачах. Например, свойства операций показывают как правильно складывать, умножать, вычитать или делить числа с разными знаками (положительные и отрицательные), а также целые и дробные числа. Кроме того, свойства показывают как правильно переделывать (упрощать, сокращать, преобразовывать) буквенные выражения, функции, уравнения и неравенства, что очень часто требуется в разных задачах. Вывод: без знания и понимания свойств алгебраических операций, невозможно решить ни одну из задач по алгебре!

Итак, начнём!

СВОЙСТВА АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ

Каждое свойство алгебраических операций нужно не только запомнить, но ещё и научиться применять! Для этого необходимо показать каждое свойство на конкретных примерах. Но так как свойств достаточно много, то представить их вместе с примерами на одной странице будет очень громоздко. Поэтому здесь мы только соберём все свойства в один список, а конкретные примеры их работы покажем на следующей странице применение свойств алгебраических операций (страница в доработке).

СВОЙСТВА АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ

Напомним, что арифметические операции – это четыре алгебраические операции: сложение, вычитание, умножение и деление.

[1] \;\;\;\, \text{A} + \text{B} = \text{B} + \text{A}

[2] \;\;\;\, (\text{A} + \text{B}) + \text{C} = \text{A} + (\text{B} + \text{C})

[3] \;\;\;\, \text{A} \pm 0 = \text{A} }

[4] \;\;\;\, (\text{A} \cdot \text{B}) \cdot \text{C} = \text{A} \cdot (\text{B} \cdot \text{C})

[5] \;\;\;\, \text{A} \cdot \text{B} = \text{B} \cdot \text{A}

[6] \;\;\;\, (\text{A} \cdot \text{B}) \cdot \text{C} = \text{A} \cdot (\text{B} \cdot \text{C})

[7] \;\;\;\, \text{A} \cdot (\text{B} + \text{C}) = \text{A} \cdot \text{B} + \text{A} \cdot \text{C}

[8] \;\;\;\, \text{A} \cdot 0 = 0

[9] \;\;\;\, \text{A} \cdot 1 = \text{A}

[10] \;\;\;\, \dfrac{\text{A}}{1} = \text{A}

[11] \;\; \dfrac{\text{A}}{\text{B}} = \dfrac{\text{A} \cdot \text{M}}{\text{B} \cdot \text{M}}

[12] \;\; \dfrac{\text{A} \cdot \cancel{\text{M}}}{\text{B} \cdot \cancel{\text{M}}} = \dfrac{\text{A}}{\text{B}}

[13] \;\; \dfrac{\text{A}}{\text{B}} \pm \dfrac{\text{C}}{\text{D}} = \dfrac{ \text{A} \cdot \text{D} \pm \text{B} \cdot \text{C} }{ \text{B} \cdot \text{D} }

[14] \;\; \dfrac{\text{A}}{\text{B}} \cdot \dfrac{\text{C}}{\text{D}} = \dfrac{\text{A} \cdot \text{C}}{\text{B} \cdot \text{D}}

[15] \;\; \dfrac{\text{A}}{\text{B}} : \dfrac{\text{C}}{\text{D}} = \dfrac{\text{A}}{\text{B}} \cdot \dfrac{\text{D}}{\text{C}} = \dfrac{\text{A} \cdot \text{D}}{\text{B} \cdot \text{C}}

[16] \;\; -\text{A} \cdot \text{B} = \text{A} \cdot (-\text{B})

[17] \;\; -\text{A} \cdot (-\text{B}) = \text{A} \cdot \text{B}

[18] \;\; -(\text{A} - \text{B} + \text{C} - \ldots) = -\text{A} + \text{B} - \text{C} + \ldots

[19] \;\; + (\text{A} - \text{B} + \text{C} - \ldots) = \text{A} - \text{B} + \text{C} - \ldots

[20] \;\; \dfrac{-\text{A}}{\text{B}} = \dfrac{\text{A}}{-\text{B}} = - \dfrac{\text{A}}{\text{B}}

[21] \;\; \dfrac{-\text{A}}{-\text{B}} = \dfrac{\text{A}}{\text{B}}

Некоторые из свойств [1-20] являются первичными, а другие вторичными. Вторичные свойства можно доказать с помощью первичных (смотрите ниже доказательство некоторых свойств ▼).

СВОЙСТВА ОПЕРАЦИИ ВОЗВЕДЕНИЯ В СТЕПЕНЬ (Ap)

[22] \;\; \text{A}^r \cdot \text{A}^s = \text{A}^{r + s}

[23] \;\; \dfrac{\text{A}^r}{\text{A}^s} = A^{r - s}

[24] \;\; (\text{A}^r)^s= \text{A}^{r \cdot s}

[25] \;\; (\text{A} \cdot \text{B})^r = \text{A}^r \cdot \text{B}^r

[26] \; \left(\dfrac{\text{A}}{\text{B}}\right)^{r} = \dfrac{\text{A}^r}{\text{B}^r}

[27] \;\; \text{A}^0 = 1

[28] \;\; \text{A}^1 = \text{A}

[29] \;\; \text{A}^{-r} = \dfrac{1}{\text{A}^r}

[30] \; \left(\dfrac{\text{A}}{\text{B}}\right)^{-r} = \left(\dfrac{\text{B}}{\text{A}}\right)^r = \dfrac{\text{B}^r}{\text{A}^r}

Степень с дробным показателем  \text{A}^{\tfrac{m}{n}}  можно записывать в виде корня  \text{A}^{\tfrac{m}{n}} = \sqrt[\scriptstyle n]{\text{A}^m}.  Пользуясь этим обозначением и свойствами [21-25] можно вывести свойства корней:

[31] \;\; \sqrt[\scriptstyle n]{\text{A} \cdot \text{B}} = \sqrt[\scriptstyle n]{\text{A}} \cdot \sqrt[\scriptstyle n]{\text{B}}

[32] \;\;\sqrt[\scriptstyle n]{\dfrac{\text{A}}{\text{B}}} = \dfrac{\sqrt[\scriptstyle n]{\text{A}}}{\sqrt[\scriptstyle n]{\text{B}}}

[33] \;\;\left(\sqrt[\scriptstyle n]{\text{A}}\right)^m = \sqrt[\scriptstyle n]{\text{A}^m}

[34] \;\;\sqrt[\scriptstyle n]{\sqrt[\scriptstyle k]{\text{A}}} = \sqrt[\scriptstyle n \cdot k]{\text{A}}

[35] \;\;\sqrt[\scriptstyle n \cdot \cancel{m}]{\text{A}^{k \cdot \cancel{m}}} = \sqrt[\scriptstyle n]{\text{A}^k}

Некоторые из свойств [21-34] являются первичными, а другие вторичными. Вторичные свойства можно доказать с помощью первичных (смотрите ниже доказательство некоторых свойств ▼).

СВОЙСТВА ОПЕРАЦИИ МОДУЛЯ |A|

В доработке!!!

В доработке!!!

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ И ЗНАКИ СРАВНЕНИЯ

В доработке!!!

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВ

В доработке!!!

Автор: Павел Пяк
Дата публикации: 2018-01-07 15:40:57
Дата изменения: 2020-09-02 15:25:47

Добавить комментарий

Copyright © algebrafan.uz, 2017-2020 Frontier Theme