УРАВНЕНИЯ

• Что называется уравнением? ▼
• Виды уравнений ▼
• Системы и совокупности уравнений ▼
• Задачи с уравнениями ▼

ЧТО НАЗЫВАЕТСЯ УРАВНЕНИЕМ?

Уравнением в алгебре называется конструкция, построенная из букв, чисел и операций. Например, уравнение

(1)  

построено из:

• буквы которая является неизвестным числом, или просто неизвестной.
• чисел
• операций:
  • плюс 
  • минус 
  • умножение 
  • возведение в квадрат 

Попробуйте найти все эти операции в уравнении (1).

Для чего нужны уравнения? С помощью уравнений можно находить неизвестные числа   В этом заключается их основной смысл. А сам процесс нахождения неизвестных переменных называется решением уравнения.

В повседневной жизни мы встречаемся с уравнениями каждый день и по нескольку раз. Например, в магазине, при покупке яблок и груш, ценой 5000 и 15000 сум, нам придётся составить и решить в уме самое простое уравнение:

(2)  

Чтобы решить это уравнение, то есть найти неизвестную переменную нам придёться выполнить только одну операцию сложения:  сум. Такие простые уравнения мы составляем и решаем в уме!

Конечно, есть и намного более сложные уравнения! Вы, наверное, помните задачи на смеси и проценты. Они тоже имеют практическую пользу и часто встречаются в жизни. В таких задачах также сначала нужно составить уравнение, а потом решить его. Но составлять и решать в уме такие уравнения уже намного сложнее! Лучше на бумаге!

К счастью, чаще всего в задачах даются уже готовые уравнения и поэтому их не нужно составлять, а нужно только решать. Например, могут попросить решить уравнение:    При этом, кто составил данное уравнение и для каких целей, нас не будет интересовать!

Итак, наша цель — научиться: (А) составлять и решать уравнения, или (Б) просто решать уравнения, если они уже кем-то составлены.

ВИДЫ УРАВНЕНИЙ

Уравнения бывают разных видов. Какое именно перед вами уравнение, определить достаточно просто: нужно посмотреть из каких операций оно построено! Например, показанное выше уравнение (1) является алгебраическим уравнением, так как оно построено из чисел и алгебраических операций. То есть логика здесь очень простая:

• Алгебраические уравнения — построены из чисел, букв и алгебраических операций;
• Тригонометрические уравнения — построены из чисел, букв, алгебраических и тригонометрических операций;
• Логарифмические уравнения — построены из чисел, букв, алгебраических и логарифмических операций;
• Показательные уравнения — построены из чисел, букв, алгебраических и показательных операций.

Внимательный читатель обратит внимание, что алгебраические операции могут входить не только в алгебраические, но и в тригонометрические, логарифмические и показательные уравнения. Дело в том, что они самые распространённые среди других операций. Ведь чаще всего мы имеем дело со сложением, вычитанием, умножением и делением, чем с логарифмами, синусами, косинусами, тангенсами и котангенсами. Даже саму алгебру назвали в честь алгебраических операций!

И ещё одно важное замечание! Научиться определять вид любого уравнения очень важное умение! Дело в том, что в алгебре очень много заданий на тему уравнений и, поэтому, научившись определять их вид, можно легко и быстро найти способ их решения в интернете или учебнике.

СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ УРАВНЕНИЙ

В алгебре решают также системы и совокупности уравнений. Показать их отличие легче всего на примерах.

Пусть имеется «система» из трёх уравнений (система обозначается фигурной скобкой):

и точно такая же «совокупность» уравнений (совокупность обозначается прямой скобкой):

Ясно, что одинаковые уравнения будут иметь одинаковые решения. Проверьте, подстановкой:

Но тогда чем отличаются между собой данная система и совокупность уравнений? Оказывается, в «системе уравнений» нужно взять только совпадающие решения, а в «совокупности уравнений» — все решения. То есть, решением «системы уравнений» будет только а решением «совокупности уравнений» и А именно:

Наша цель — научиться: (А) составлять и решать системы и совокупности уравнений, или (Б) просто решать их, если они уже кем-то составлены.

ЗАДАЧИ С УРАВНЕНИЯМИ

Все задачи с уравнениями однотипные и сводятся к следующим:

1. Решить уравнение;
2. Составить уравнение, а потом решить его;
3. Решить систему уравнений;
4. Составить систему уравнений, а потом решить её;
5. Решить совокупность уравнений;
6. Составить совокупность уравнений, а потом решить её.

В доработке!