algebrafan.uz

Алгебра по-новому!

algebrafan.uz > ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ > Описание тригонометрических операций

Описание тригонометрических операций

На этой странице представлен список и краткое описание тригонометрических операций (всего 8 операций):

1. Прямые тригонометрические операции ▼

— Синус

— Косинус

— Тангенс

— Котангенс

2. Обратные тригонометрические операции ▼

— Арксинус

— Арккосинус

— Арктангенс

— Арккотангенс

1. ПРЯМЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

Сначала изучим прямые тригонометрические операции \sin \boldsymbol \alpha, \cos \boldsymbol \alpha, {\newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits} \tg \boldsymbol \alpha } и {\newcommand{\ctg}{\mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits} \ctg \boldsymbol \alpha }. Многие ученики, кто уже имел с ними дело, говорят, что они намного труднее, чем алгебраические операции сложения, умножения, вычитания или деления. Но на самом деле, мы увидим, что вся сложность операций \sin \boldsymbol \alpha, \cos \boldsymbol \alpha, {\newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits} \tg \boldsymbol \alpha } и {\newcommand{\ctg}{\mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits} \ctg \boldsymbol \alpha } состоит лишь в том, что их трудно вычислить в уме. Приходиться рисовать разные графики, углы, координаты и так далее. Но в этом нет ничего сложного, а наоборот, с графиками становится всё наглядно и понятно! Сейчас мы убедимся в этом!

Синус

Операция синус выполняется только над одним числом \boldsymbol \alpha и в результате получается одно число \boldsymbol b:

    \[ \sin {\boldsymbol \alpha} = \boldsymbol b \]

При этом, операция синус работает только с углами, то есть число \boldsymbol \alpha — это некоторый угол. Поэтому про операцию \sin \boldsymbol \alpha говорят так: «синус угла \alpha«, или «синус от угла \alpha«. Также отметим, что углы могут измеряться либо в градусах, либо в радианах (см. ниже).

Инструкция по вычислению \sin \boldsymbol \alpha. Операцию \sin \boldsymbol \alpha выполняют в несколько шагов:

Шаг 1. Сначала нужно изобразить угол \boldsymbol \alpha. Для этого построим декартову систему координат Oxy на плоскости и в её центре поместим окружность с радиусом R. Далее, начиная от оси Ox, по часовой или против часовой стрелки, отложим любой угол \boldsymbol \alpha. В результате, получится прямоугольный треугольник с гипотенузой R и катетами x и y.

Вычисление операции синус

Шаг 2. Теперь можно вычислить синус \sin \boldsymbol \alpha:

(1)   \begin{equation*} \boxed{ \sin {\boldsymbol \alpha} = \boldsymbol {\frac{y}{R}} } \end{equation*}

В доработке!!!

 

Обратные тригонометрические операции

Все обратные тригонометрические операции выполняются над одним числом {\color{blue}a}:

1. Арксинус:

    \[ \arcsin \color{blue} a \]

Подробнее ▼

2. Арккосинус:

    \[ \arccos \color{blue} a \]

Подробнее ▼

3. Арктангенс:

    \[ \newcommand{\arctg}{\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits} \arctg \color{blue} a \]

Подробнее ▼
4. Арккотангенс:

    \[ \newcommand{\arcctg}{\mathop{\mathrm{arcctg}}\nolimits} \arcctg \color{blue} a \]

Подробнее ▼

В доработке!!!

В доработке!!!

Дополнительно

Градусы и радианы

★ Тригонометрические операции и углы. У тригонометрических операций есть одна особенность! Число {\color{blue} \alpha} в них всегда обозначает угол. Это сильно отличает тригонометрические операции от других. Например, в операции сложения  {\color{blue} a} + {\color{blue} b},  числа \color{blue} a и \color{blue} b могут быть любыми величинами: мы можем складывать килограммы, метры, секунды, деньги, углы и другие величины. А вот тригонометрические операции  \sin {\color{blue} \alpha},  \cos {\color{blue} \alpha},  {\newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits} \tg {\color{blue} \alpha} }  и  {\newcommand{\ctg}{\mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits} \ctg {\color{blue} \alpha} }  можно выполнять только над углами!

★ Измерение углов. Углы {\color{blue} \alpha} можно записывать двумя способами:

1. С помощью градусов (градусная мера углов):

    \[ {\color{blue} \alpha} = 0^{\circ}; \;\, {\color{blue} \alpha} = 25^{\circ}; \;\, {\color{blue} \alpha} = 75^{\circ}; \;\, {\color{blue} \alpha} = 89^{\circ}; \;\, {\color{blue} \alpha} = 134^{\circ} \]

0 градусов,  25 градусов,  75 градусов и т.д.

2. С помощью радиан (радианная мера углов):

    \[ {\color{blue} \alpha} = 0; \;\, {\color{blue} \alpha} = \frac{\pi}{2}; \;\, {\color{blue} \alpha} = 3; \;\, {\color{blue} \alpha} = \frac{\pi}{3}; \;\, {\color{blue} \alpha} = 2 \pi \]

0 радиан,  \dfrac{\pi}{2} радиан,  3 радиан и т.д.

★ Напомним! Число  \pi  — это бесконечная десятичная дробь, которую можно записать только приближенно:

    \[ \pi \approx 3{,}141592653589 \]

★ Формула для перехода от радианов (rad) к градусам:

    \[ \boxed{ {\color{blue} \alpha} \, \textrm{rad} \, = {\color{blue} \alpha} \cdot \dfrac{180^{\circ}}{\pi} } \]

Примеры:

    \[ 1 \, \textrm{rad} \, = 1 \cdot \dfrac{180^{\circ}}{\pi} \approx \dfrac{1 \cdot 180^{\circ}}{3{,}14159265} \approx 57{,}2957795^{\circ} \]

    \[ 3 \, \textrm{rad} \, = 3 \cdot \dfrac{180^{\circ}}{\pi} \approx \dfrac{3 \cdot 180^{\circ}}{3{,}14159265} \approx 171,887338^{\circ} \]

    \[ \dfrac{\pi}{4} \, \textrm{rad} \, = \dfrac{\cancel \pi}{4} \cdot \dfrac{180^{\circ}}{\cancel \pi} = \dfrac{1}{4} \cdot 180^{\circ} = 45^{\circ} \]

    \[ \dfrac{\pi}{2} \, \textrm{rad} \, = \dfrac{\cancel \pi}{2} \cdot \dfrac{180^{\circ}}{\cancel \pi} = \dfrac{1}{2} \cdot 180^{\circ} = 90^{\circ} \]

    \[ \pi \, \textrm{rad} \, = \cancel \pi \cdot \dfrac{180^{\circ}}{\cancel \pi} = 180^{\circ} \]

★ Формула для перехода от градусов к радианам (rad):

    \[ \boxed{ {\color{blue} \alpha}^{\circ} = {\color{blue} \alpha} \cdot \frac{\pi}{180} \; \textrm{rad} } \]

Примеры:

    \[ 0^{\circ} = 0 \cdot \frac{\pi}{180} \; \textrm{rad} = 0 \; \textrm{rad} \]

    \[ 1^{\circ} = 1 \cdot \frac{\pi}{180} \; \textrm{rad} = \frac{\pi}{180} \; \textrm{rad} \]

    \[ 45^{\circ} = \cancel{45} \cdot \frac{\pi}{\cancel{180}_4} \; \textrm{rad} = \frac{\pi}{4} \; \textrm{rad} \]

    \[ 90^{\circ} = \cancel{90} \cdot \frac{\pi}{\cancel{180}_2} \; \textrm{rad} = \frac{\pi}{2} \; \textrm{rad} \]

    \[ 180^{\circ} = \cancel{180} \cdot \frac{\pi}{\cancel{180}} \; \textrm{rad} = \pi \; \textrm{rad} \]

★ Углы в тригонометрических операциях. Углы \color{blue} \alpha в тригонометрических операциях можно записывать либо в градусах, либо в радианах:

    \[ \sin 0^{\circ} = \sin 0 \, ; \quad \cos 45^{\circ} = \cos \frac{\pi}{4} \, ; \quad { \newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits} \tg 30^{\circ} = {\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits} \frac{\pi}{6} } \, ; \]

    \[ { \newcommand{\ctg}{\mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits} \ctg 15^{\circ} = {\mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits} \frac{\pi}{12} \, ; \quad \cos 25^{\circ} = \cos \frac{5 \pi}{36} \]

★ Обратите внимание! Слово «радиан» или «rad» в тригонометрических операциях не пишут! Например, в операции  \cos \dfrac{\pi}{4}  угол \color{blue} \alpha равен  \dfrac{\pi}{4}  радиан, однако слово «радиан» или «rad» в этой операции не пишут.

Дополнительно

Изображение углов

★ Тригонометрическая окружность. Для изображения угла {\color{blue} \alpha} в тригонометрических операциях  \sin {\color{blue} \alpha},  \cos {\color{blue} \alpha},  {\newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits} \tg {\color{blue} \alpha} }  и  {\newcommand{\ctg}{\mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits} \ctg {\color{blue} \alpha} },  лучше всего подходит тригонометрическая окружность. Это окружность с единичным радиусом  R = 1,  помещённая в центре системы координат Oxy:

Тригонометрическая окружность

★ Отсчёт углов. Углы отсчитываются от оси Ox по часовой или против часовой стрелки:

  • Углы  {\color{blue} \alpha},  отсчитываемые против часовой стрелки являются положительными. Они записываются с помощью положительных градусов или радиан (см. выше ▲):

    \[ {\color{blue} \alpha} = 0^{\circ} = 0 \; \textrm{rad} \]

    \[ {\color{blue} \alpha} = 1^{\circ} = \frac{\pi}{180} \; \textrm{rad} \]

    \[ {\color{blue} \alpha} = 45^{\circ} = \frac{\pi}{4} \; \textrm{rad} \]

    \[ {\color{blue} \alpha} = 90^{\circ} = \frac{\pi}{2} \; \textrm{rad} \]

    \[ {\color{blue} \alpha} = 180^{\circ} = \pi \; \textrm{rad} \]

  • Углы  {\color{blue} {\alpha}'},  отсчитываемые по часовой стрелке являются отрицательными. Они записываются с помощью отрицательных градусов или радиан:

    \[ {\color{blue} {\alpha}'} = -1^{\circ} = -\frac{\pi}{180} \; \textrm{rad} \]

    \[ {\color{blue} {\alpha}'} = -45^{\circ} = -\frac{\pi}{4} \; \textrm{rad} \]

    \[ {\color{blue} {\alpha}'} = -90^{\circ} = -\frac{\pi}{2} \; \textrm{rad} \]

    \[ {\color{blue} {\alpha}'} = -180^{\circ} = -\pi \; \textrm{rad} \]

★ Координатные четверти. В доработке!

Автор: Павел Пяк
Дата публикации: 2018-04-19 21:23:03
Дата обновления и пополнения: 2022-12-14 22:52:58

Copyright © algebrafan.uz, 2017-2025 Frontier Theme