algebrafan.uz

Алгебра по-новому!

ВЫРАЖЕНИЯ

ЧТО НАЗЫВАЕТСЯ ВЫРАЖЕНИЕМ?

Выражением в алгебре называется конструкция, построенная из чисел и операций. Например, выражение

(1)   \begin{equation*}  \frac{a^2-b^2}{3 \cdot (a+b)} + 5 \cdot \sqrt{c} \end{equation*}

построено из:

  • чисел: 2, 3, 5 и a, b, c.

Отметим, что буквы в выражениях считаются числами, так как вместо них можно подставлять любые числа. Буквы также называются переменными (мы говорили об этом на странице операции).

  • операций:
    • плюс:  \square + \square;
    • минус:  \square - \square;
    • деление:  \displaystyle \frac{\square}{\square};
    • умножение:  \square \cdot \square;
    • возведение в квадрат:  \square^2;
    • извлечение корня:  \sqrt{\square}.

Попробуйте найти все эти операции в выражении (1).

Кстати, выражение (1) называется также буквенным выражением, так как в нём есть буквы (переменные): a, b, c. Но если в выражении нет вообще ни одной буквы, а только лишь числа, то оно называется числовым выражением. Например, если вместо букв a, b, c в выражение (1) подставить числа 10, 7, 16, то получится числовое выражение:

(2)   \begin{equation*}  \frac{10^2-7^2}{3 \cdot (10+7)} + 5 \cdot \sqrt{16} \end{equation*}

Это выражение можно вычислить и получить в ответе конкретное число – значение выражения. Значением выражения (2) будет число 21. Вообще, вычислить выражение – это одна из часто встречаемых задач в алгебре.

Теперь поговорим о том, для чего нужны выражения. Выражения позволяют выполнять сложные вычисления. Например, мы пошли в магазин, чтобы купить 2 кг яблок (по 5000 сум за 1 кг) и 3 кг груш (по 6000 сум за 1 кг). При этом, нам очень повезло, так как в этот день все продукты продают за половину цены. Чтобы узнать, сколько денег нам придётся потратить на все покупки, мы должны составить и вычислить в уме следующее выражение:

(2 \cdot 5000 + 3 \cdot 6000):2

Получится 14000 сум. То есть, выражения позволяют выполнять более сложные вычисления, одновременно несколько операций: сложение, вычитание, умножение, деление и другие.

Кроме того, выражения помогают подготовиться к более сложным темам по алгебре, таким как уравнения, функции и неравенства. Дело в том, что выражения сильно связаны с уравнениями, функциями и неравенствами. Как именно связаны, можно показать на следующих примерах. Допустим, есть буквенное выражение:

\color{violet} 3x^2 - 5x +4

Из него можно получить:

– уравнение

{\color{violet} 3x^2 - 5x +4} = 0,

– функцию

y = {\color{violet} 3x^2 - 5x +4},

– неравенство

{\color{violet} 3x^2 - 5x +4} > 0.

То есть, можно сказать так: “В любом уравнении, функции и неравенстве обязательно можно найти выражение!” Поэтому, если мы научимся упрощать выражения или переделывать их в более удобный для нас вид, то мы сможем делать то же самое с уравнениями, функциями и неравенствами. Это, в свою очередь, поможет нам в решении задач с уравнениями, функциями и неравенствами!

Итак, с помощью выражений можно:

  • Выполнять сложные вычисления;
  • Научиться упрощать уравнения, функции и неравенства, или переделывать их в более удобный для решения вид.

ВИДЫ ВЫРАЖЕНИЙ

Выражения бывают разных видов. Какое именно перед вами выражение, определить достаточно просто: нужно посмотреть из каких операций оно построено! Например, показанное выше выражение (1) является алгебраическим выражением, так как оно построено из чисел и алгебраических операций. То есть логика здесь очень простая:

  • Алгебраические выражения – построены из чисел и алгебраических операций;
  • Тригонометрические выражения – построены из чисел, алгебраических и тригонометрических операций;
  • Логарифмические выражения – построены из чисел, алгебраических и логарифмических операций;
  • Показательные выражения – построены из чисел, алгебраических и показательных операций.

Вы, наверное, обратили внимание, что из “алгебраических операций” построены не только “алгебраические выражения”, но и другие тоже: тригонометрические, логарифмические и показательные выражения. Дело в том, что алгебраические операции самые распространённые среди других. В жизни тоже, мы чаще всего встречаемся со сложением, вычитанием, умножением и делением, чем с логарифмами, синусами, косинусами, тангенсами и котангенсами. Даже саму алгебру назвали в честь алгебраических операций! Поэтому, алгебраические операции есть не только в алгебраических выражениях, но и в других тоже. При этом, может возникнуть вопрос: почему тригонометрические выражения, в которых есть также и алгебраические операции, называются только “тригонометрическими”? Не логичнее было бы назвать их, например, “тригонометрически-алгебраическими” или “алгебраически-тригонометрическими” выражениями? Здесь всё очень просто: зачем пугать школьников такими сложными названиями, как “тригонометрически-алгебраические” выражения, если мы знаем, что алгебраические операции есть практически везде, в том числе и в тригонометрических выражениях, и поэтому нет смысла постоянно о них напоминать!

А вообще, научиться определять, к какому виду относится то или иное выражение – очень важное умение! Дело в том, что в алгебре очень много заданий на тему выражений и, поэтому, зная их вид, можно легко и быстро найти всю необходимую информацию по ним в интернете или учебнике: область определения выражений разных видов, способы их преобразования (упрощения) и т.д.

ЗАДАЧИ С ВЫРАЖЕНИЯМИ

Выражениям в алгебре посвящено много разных задач. Например:

  1. Вычислить значение выражения;
  2. Упростить выражение;
  3. Найти область определения выражения;
  4. И много других.

Доработка!

Автор: Павел Пяк
Дата публикации: 2018-01-07 15:40:57
Дата изменения: 2020-09-26 22:59:23

Добавить комментарий

Copyright © algebrafan.uz, 2017-2020 Frontier Theme