ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ОПЕРАЦИИ

Операция логарифмирования позволяет найти показатель $p$ степени $a^p = b$ , если известно основание $a$ и результат $b$ . Например, с помощью логарифма можно найти показатель в следующей степени:

$3^p = 9$

Вы, наверное, уже догадались, что $p = 2,$ но в математике любые действия, которые мы выполняем в уме, нужно записывать в виде операций! И, в данном случае, мы выполняем в уме операцию логарифмирования:

$p = \log_{3}{9} = 2$

Вот еще несколько простых примеров:

$p = \log_{2}{8} = 3$

$p = \log_{5}{25} = 2$

$p = \log_{3}{27} = 3$

$p = \log_{2}{32} = 5$

$p = \log_{12}{144} = 2$

В примерах, которые мы только что показали, операцию логарифмирования можно было вычислить в уме. Однако в некоторых случаях это можно сделать только на калькуляторе! Например, невозможно вычислить в уме следующий логарифм:

$p = \log_{3}{5}$

В этом случае, можно воспользоваться калькулятором или каким-нибудь онлайн сервисом с возможностью вычисления логарифма. Тогда получим:

$p = \log_{3}{5}$

Ответ равен бесконечной десятичной дроби, то есть иррациональному числу.

Итак, операция логарифмирования записывается следующим образом:

Она позволяет найти показатель $p$ степени $a^p = b,$ если известно основание $a$ и результат $b:$

$p = \log_{a}{b}$

СВОЙСТВА ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ОПЕРАЦИИ

Первое, самое главное свойство логарифмической операции заключается в том, что она обладает некоторыми ограничениями:

$[1]$ Числа $\text{A}$ и $\text{B}$ в операции $\log_{\text{A}}{\text{B}}$ имеют следующие ограничения:

$\text{A} > 0, \; \text{A} \neq 1, \; \text{B} > 0.$

Раньше мы уже сталкивались с подобными ограничениями в операциях. Например, в операции деления $\dfrac{\text{A}}{\text{B}}$ запрещалось деление на ноль, то есть $\text{B} \neq 0$ (см. свойства алгебраических операций).

$[2] \;\;\;\; \text{A}^{\log_{\text{A}}{\text{B}}} = \text{B}$

$[3] \;\;\;\, \log_{\text{A}}{1} = 0$

$[4] \;\;\;\, \log_{\text{A}}{\text{A}} = 1$

$[5] \;\;\;\, \log_{\text{A}}{(\text{B} \cdot \text{C})}$ $= \log_{\text{A}}{\text{B}} + \log_{\text{A}}{\text{C}}$

$[6] \;\;\;\, \log_{\text{A}}{\left(\dfrac{\text{B}}{\text{C}}\right)}$ $= \log_{\text{A}}{\text{B}} - \log_{\text{A}}{\text{C}}$

$[7] \;\;\;\, \log_{\text{A}}{\text{B}^p} = p \log_{\text{A}}{\text{B}}$

$[8] \;\;\;\, \log_{\text{A}^p}{\text{B}} = \dfrac{1}{p} \log_{\text{A}}{\text{B}}$

$[9] \;\;\;\, \log_{\text{A}}{\text{B}} = \log_{\text{A}^p}{\text{B}^p}$

$[10] \;\; \log_{\text{A}}{\text{B}} = \dfrac{\log_{ \text{C}}{\text{B}} }{ \log_{ \text{C}}{\text{A}} }$

$[11] \;\; \log_{\text{A}}{\text{B}} = \dfrac{\log_{ \text{B}}{\text{B}} }{ \log_{ \text{B}}{\text{A}} }$ $= \dfrac{1}{ \log_{ \text{B}}{\text{A}} }$

Свойства [8-11] могут использоваться для перехода к новому основанию, поэтому их часто называют свойствами перехода к новому основанию. Эти свойства мы будем часто использовать при решении логарифмических уравнений и неравенств,

Обратите внимание!!! Некоторые свойства нужно применять очень аккуратно, так как после их применения может нарушиться свойство [1], согласно которому должны выполняться следующие условия: $\text{A} > 0, \; \text{A} \neq 1, \; \text{B} > 0.$ Например, попробуем применить свойство [6], если $\text{A} = 2,$ $\text{B} = -16,$ $\text{C} = -4.$ В этом случае, получим:

$\log_{2}{\left(\dfrac{-16}{-4}\right)}$ $= \log_{2}{(-16)} - \log_{2}{(-4)}$

Слева от знака равно, получается логарифм, который вполне можно вычислить, так как свойство [1] не нарушается:

$\log_{2}{\left(\dfrac{-16}{-4}\right)}$ $= \log_{2}{\left(\dfrac{16}{4}\right)} = \log_{2}{8} = 3$

Здесь два минуса при делении дают плюс (см. свойства алгебраических операций).

А вот справа от знака равно получаются логарифмы от отрицательных чисел:

$\log_{2}{(-16)}$ и $\log_{2}{(-4)},$

которые нельзя вычислить, так как они запрещены свойством [1].

Поэтому, свойства логарифмов нужно применять очень аккуратно: всегда следите за выполнением свойства [1] !!!

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВ

Некоторые из свойств [1-11] являются первичными, а другие вторичными. Вторичные свойства можно доказать с помощью первичных (смотрите ниже доказательство некоторых свойств ▼).

В РАЗРАБОТКЕ!!!

algebrafan.uz

Алгебра по-новому!

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ОПЕРАЦИИ

СВОЙСТВА ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ОПЕРАЦИИ

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВ

ОСНОВА АЛГЕБРЫ

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ОПЕРАЦИЯ

Последние обновления

Последние комментарии

Поиск по сайту

algebrafan.uz

Алгебра по-новому!

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ОПЕРАЦИИ

СВОЙСТВА ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ОПЕРАЦИИ

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВ

ОСНОВА АЛГЕБРЫ

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ОПЕРАЦИЯ

Последние обновления

Последние комментарии

Войти

Поиск по сайту