algebrafan.uz

Алгебра по-новому!

Описание алгебраических операций

В школьной алгебре изучается шесть алгебраических операций:

1) Сложение:

a+b

2) Вычитание:

a-b

3) Умножение:

a \cdot b

4) Деление:

a \div b

5) Возведение в степень:

a^b

6) Взятие модуля:

\left | a \right |

Кстати, первые четыре операции (сложение, вычитание, умножение и деление) называются также арифметическими операциями.

В математике, каждая буква, точка, черточка, звездочка и, вообще, любые знаки имеют своё название. Практически в любой теме, обязательно будет идти речь о каких-то слагаемых, множителях, делителях, суммах и других понятиях. Отсюда следует, что при изучении математики, обязательно нужно уделить немного времени на изучение терминологии – понятий и названий, которые частенько встречаются. Мы также, начнём изучение алгебраических операций с обзора терминологии: узнаем название знаков и букв, из которых состоят операции. Но стоит отметить, что одной терминологией умён не будешь! Нужно также научиться выполнять алгебраические операции (складывать, умножать, делить, вовзодить в степень и т.д.), а ещё, изучить правила работаты с ними (свойства операций). Мы обязательно всё это рассмотрим, но постепенно! Ссылки на методы выполнения операций и их свойства указаны в тексте ниже.

СЛОЖЕНИЕ:

Операция сложения выполняется над двумя числами a и b:

В результате сложения получается одно число c, которое называется суммой. Складываемые числа a и b называются слагаемыми (первым и вторым). Отметим, что саму операцию сложения a+b тоже часто называют «суммой», то есть, вместо «сложение чисел» a и b, можно сказать «сумма чисел» a и b.

Методы и свойства сложения:

Изучив методы и свойства сложения, мы научимся решать такие задачи как:

– сложение целых положительных и отрицательных чисел:

\dpi{100} \large 3+2=5

    \dpi{100} \large -3+(-2)=-5

    \dpi{100} \large -3+2=-1

сложение дробных положительных и отрицательных чисел:

\dpi{100} \large \frac{1}{2}+\frac{2}{3}=\frac{7}{6}

   \dpi{100} \large -\frac{1}{2}+\left ( -\frac{2}{3} \right )=-\frac{7}{6}

   \dpi{100} \large -\frac{1}{2}+\frac{2}{3}=-\frac{1}{6}

– применение «переместительного свойства сложения» (от перемены мест слагаемых сумма не меняется):

      \large a+b=b+a

.  \large -2+5=5-2

.  \large -5+x^{2}=x^{2}-5

. \large -(a+b)+c^{2}=c^{2}-(a+b)

– применение «сочетательного свойства сложения» (если в выражении стоят несколько операций сложения подряд, то их можно выполнять в любом порядке):

   .  \large a+(b+c)=(a+b)+c

– и много других задач.

Замечание! Выше мы говорили, что операция сложения выполняется только над двумя числами. Но как работает операция сложения, если, например, вместо одного слагаемого стоят сразу два числа:

\dpi{100} \large 3+8\cdot5=43

В таких случаях, операция сложения всё равно применяется только к двум числам! А именно, сначала выполяется умножение 8·5=40, а потом уже сложение двух чисел 3+40=43, а не трёх или более.

ВЫЧИТАНИЕ:

Операция вычитания выполнятся над двумя числами a и b:

 

 

 

 

В результате вычитания получается одно число c, которое называется разностью. Числа a и b называются уменьшаемым и вычитаемым. Отметим, что саму операцию вычитания a-b тоже часто называют «разностью», то есть вместо «вычитание чисел» a и b, можно сказать «разность чисел» a и b.

Что нужно знать про операцию вычитания? Операция вычитания встречается практически в любой задаче по математике, и поэтому для их решения, необходимо знать две важные темы:

Операция вычитания присутствует практически в любой задаче по математике! Поэтому, если мы действительно хотим знать математику хорошо, то нам необходимо научиться:

1) вычитать числа разных видов (например, положительные и отрицательные, или целые и дробные);

2) применять свойства вычитания (например, часто, при вычитании чисел и букв, нужно применять правило «минус на плюс даёт минус, а минус на минус даёт плюс»).

Например, умеете ли вы вычитать целые положительные и отрицательные числа:

\dpi{100} \large 3-2=1

    \dpi{100} \large -3-(-2)=-1

    \dpi{100} \large -3-2=-5

Или, дробные положительные и отрицательные числа:

\dpi{100} \large \frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{1}{6}

   \dpi{100} \large -\frac{2}{3}-\left ( -\frac{1}{2} \right )=-\frac{1}{6}

    \dpi{100} \large -\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=-\frac{7}{6}

Также, умеете ли вы применять свойства вычитания? Например, известно ли вам свойство «минус на плюс даёт минус, а минус на минус даёт плюс», которое часто встречается при вычитании чисел и букв с разными знаками:

.      \large 3-(+2)=3-2

.      \large x^{2}-(-5)=x^{2}+5

.      \large c^{2}-(a+b)=c^{2}-a-b

У операции вычитания (как и у любой другой операции) есть и другие свойства, которые обязательно нужно уметь применять, так как без этого невозможно сдать экзамены по математике!

доработка

Умножение. Операция умножения выполнятся над двумя числами a и b:

В результате умножения получается одно число c, которое называется произведением. Отметим, что саму операцию умножения a \cdot b тоже часто называют “произведением” чисел a и b. Числа a и b называются множителями (первым и вторым). 

Деление. Операция деления выполняется над двумя числами a и b:

В результате деления получается одно число c, которое называется частным. Отметим, что саму операцию деления a \div b тоже нередко называют “частным” чисел a и b. Числа a и b называются делимым и делителем. Операцию деления можно записывать несколькими способами:

\large a\div b = a/b =\frac{a}{b}

Возведение в степень. Операция возвдения в степень записывается так:  a^p. Чтобы возвести число a в степень p, над числом a нужно выполнить некоторые действия. При этом, какие именно действия нужно выполнить, зависит от числа p. Поэтому, можно сказать, что число p служит параметром, от которого зависит, что и как нужно сделать с числом a. То есть, операция возведения в степень выполняется только над одним числом a, в зависимости от числа p. Более подробно, мы поговорим об этом ниже. Операция возведения в степень вместе с результатом записывается следующим образом:

В результате выполнения операции получается одно число c (или два противоположных по знаку числа  \pm c), которое называется pй степенью числа a. Число \large a называется основанием степени, число p – показателем степени. Кстати, саму операцию возведения в степень a^p тоже часто называют “p-й степенью числа a“.

Доработка!!!!

Допустим, показатель   p  равен какому-нибудь натуральному числу   p = 1, 2 , 3, 4, \ldots  В этом случае, число   a  нужно просто умножить   p  раз само на себя:

 4^3 = \underbrace{4\cdot 4\cdot 4}_{3} = 64

А если, например, показатель   p  равен какому-нибудь целому отрицательному числу   p = -1, -2, -3, -4 \ldots,  то сначала нужно перенести степень в знаменатель, и потом уже умножить число   a  само на себя нужное количество раз:

 4^{-3} = \dfrac{1}{4^3} = \dfrac{1}{\underbrace{4\cdot 4\cdot 4}_{3}} = \dfrac{1}{64}

И, наконец, допустим, что число   p  равно какому-нибудь дробному числу   p = \tfrac{1}{2}, \tfrac{2}{3}, \tfrac{3}{5} \ldots  В этом случае, число   a  придётся не только умножать само на себя, но также извлекать из него корень:

 8^{\tfrac{2}{3}} = \sqrt[\scriptstyle 3]{8^2} = \sqrt[\scriptstyle 3]{64} = 4

Из последнего примера видно, что операцию возведения в степень   a^p  можно записывать в виде корня   \sqrt{\phantom{a^p}}.  Это второй способ записи данной операции и он используется только в том случае, если показатель   p  – это дробное число   p = \tfrac{m}{n} :

 \boxed{ a^{\tfrac{m}{n}} = \sqrt[\scriptstyle n]{a^m} }

У операции возведения в степень достаточно много свойств. Их вы можете найти на на странице свойства алгебраических операций.

Взятие модуля. Смысл операции модуля достаточно простой. Он делает все числа положительными. Каким образом? По следующей формуле:

То есть, если число   a  равно нулю или больше нуля (то есть положительное), то модуль можно просто убрать   \left | {\color{blue} a} \right | = {\color{blue} a}:

 \left | 5 \right | = 5

 \left | 18 \right | = 18

 \left | 2{,}7 \right | = 2{,}7

 \left | \dfrac{3}{5} \right | = \dfrac{3}{5}

Однако, если число   a  меньше нуля (то есть отрицательное), то модуль можно убрать, но поставив перед числом   a  знак минус   \left | {\color{blue} a} \right | = - {\color{blue} a}:

 \left | {\color{blue} -5} \right | = -({\color{blue} -5}) = 5

 \left | {\color{blue} -18} \right | = -({\color{blue} -18}) = 18

 \left | {\color{blue} -2{,}7} \right | = -({\color{blue} -2{,}7}) = 2{,}7

 \left | {\color{blue} -\dfrac{3}{5}} \right | = -\left( {\color{blue} -\dfrac{3}{5}} \right) = \dfrac{3}{5}

Видно, что в этом случае получаются два минуса, которые вместе дают плюс (см. свойства алгебраических операций).

Итак, взяв модуль от любого числа (положительно или отрицательного), в ответе будет получаться положительное число!

Свойства алгебраических операций смотрите на странице свойства алгебраических операций.

Автор: Павел Пяк
Дата публикации: 2018-01-07 15:40:57
Дата изменения: 2020-05-04 16:10:20

Добавить комментарий

Copyright © algebrafan.uz, 2017-2018 Frontier Theme