algebrafan.uz

Алгебра по-новому!

Описание алгебраических операций

В школьной алгебре изучается шесть алгебраических операций:

1) Сложение:

\large a+b

2) Вычитание:

\large a-b

3) Умножение:

\large a\cdot b

4) Деление:

\large a\div b

5) Возведение в степень:

\large a^{p}

6) Взятие модуля:

\large \left | a \right |

Ниже, мы рассмотрим эти операции более подробно. Кстати, первые четыре операции (сложение, вычитание, умножение и деление) называются также арифметическими операциями.

Сложение. Операция сложения выполняется над двумя числами a и b:

В результате сложения получается одно число c, которое называется суммой. Отметим, что саму операцию сложения a+b тоже часто называют “суммой” чисел a и b. Числа a и b называются слагаемыми (первым и вторым).

Вычитание. Операция вычитания выполнятся над двумя числами a и b:

 

 

 

 

В результате вычитания получается одно число c, которое называется разностью. Отметим, что саму операцию вычитания a-b тоже часто называют “разностью” чисел a и b. Числа a и b называются уменьшаемым и вычитаемым

Умножение. Операция умножения выполнятся над двумя числами a и b:

В результате умножения получается одно число c, которое называется произведением. Отметим, что саму операцию умножения a \cdot b тоже часто называют “произведением” чисел a и b. Числа a и b называются множителями (первым и вторым). 

Деление. Операция деления выполняется над двумя числами a и b:

В результате деления получается одно число c, которое называется частным. Отметим, что саму операцию деления a \div b тоже нередко называют “частным” чисел a и b. Числа a и b называются делимым и делителем. Операцию деления можно записывать несколькими способами:

\large a\div b = a/b =\frac{a}{b}

Возведение в степень. Чтобы возвести число a в степень p, над числом a нужно выполнить некоторые действия. Какие именно действия нужно выполнить, зависит от числа p. Поэтому, можно сказать, что число p служит параметром, от которого зависит, как и что нужно сделать с числом a. То есть, операция возведения в степень выполняется только над одним числом a, в зависимости от числа p. Более подробно, мы поговорим об этом ниже. Записывается операция возведения в степень следующим образом:

В результате выполнения операции получается одно число c (или два противоположных по знаку числа  \pm c), которое называется pй степенью числа a. Число \large a называется основанием степени, число p – показателем степени. Кстати, саму операцию возведения в степень a^p тоже часто называют “p-й степенью числа a“.

Доработка!!!!

Допустим, показатель   p  равен какому-нибудь натуральному числу   p = 1, 2 , 3, 4, \ldots  В этом случае, число   a  нужно просто умножить   p  раз само на себя:

 4^3 = \underbrace{4\cdot 4\cdot 4}_{3} = 64

А если, например, показатель   p  равен какому-нибудь целому отрицательному числу   p = -1, -2, -3, -4 \ldots,  то сначала нужно перенести степень в знаменатель, и потом уже умножить число   a  само на себя нужное количество раз:

 4^{-3} = \dfrac{1}{4^3} = \dfrac{1}{\underbrace{4\cdot 4\cdot 4}_{3}} = \dfrac{1}{64}

И, наконец, допустим, что число   p  равно какому-нибудь дробному числу   p = \tfrac{1}{2}, \tfrac{2}{3}, \tfrac{3}{5} \ldots  В этом случае, число   a  придётся не только умножать само на себя, но также извлекать из него корень:

 8^{\tfrac{2}{3}} = \sqrt[\scriptstyle 3]{8^2} = \sqrt[\scriptstyle 3]{64} = 4

Из последнего примера видно, что операцию возведения в степень   a^p  можно записывать в виде корня   \sqrt{\phantom{a^p}}.  Это второй способ записи данной операции и он используется только в том случае, если показатель   p  – это дробное число   p = \tfrac{m}{n} :

 \boxed{ a^{\tfrac{m}{n}} = \sqrt[\scriptstyle n]{a^m} }

У операции возведения в степень достаточно много свойств. Их вы можете найти на на странице свойства алгебраических операций.

Взятие модуля. Смысл операции модуля достаточно простой. Он делает все числа положительными. Каким образом? По следующей формуле:

То есть, если число   a  равно нулю или больше нуля (то есть положительное), то модуль можно просто убрать   \left | {\color{blue} a} \right | = {\color{blue} a}:

 \left | 5 \right | = 5

 \left | 18 \right | = 18

 \left | 2{,}7 \right | = 2{,}7

 \left | \dfrac{3}{5} \right | = \dfrac{3}{5}

Однако, если число   a  меньше нуля (то есть отрицательное), то модуль можно убрать, но поставив перед числом   a  знак минус   \left | {\color{blue} a} \right | = - {\color{blue} a}:

 \left | {\color{blue} -5} \right | = -({\color{blue} -5}) = 5

 \left | {\color{blue} -18} \right | = -({\color{blue} -18}) = 18

 \left | {\color{blue} -2{,}7} \right | = -({\color{blue} -2{,}7}) = 2{,}7

 \left | {\color{blue} -\dfrac{3}{5}} \right | = -\left( {\color{blue} -\dfrac{3}{5}} \right) = \dfrac{3}{5}

Видно, что в этом случае получаются два минуса, которые вместе дают плюс (см. свойства алгебраических операций).

Итак, взяв модуль от любого числа (положительно или отрицательного), в ответе будет получаться положительное число!

Свойства алгебраических операций смотрите на странице свойства алгебраических операций.

Автор: Павел Пяк
Дата публикации: 2018-01-07 15:40:57
Дата изменения: 2019-11-13 13:38:11

Добавить комментарий

Copyright © algebrafan.uz, 2017-2018 Frontier Theme