algebrafan.uz

Алгебра по-новому!

ОПЕРАЦИИ

ЧТО НАЗЫВАЕТСЯ ОПЕРАЦИЕЙ?

Операцией в алгебре называется любое действие, которое можно выполнить над одним или двумя числами. Например, когда мы складываем два числа   12+15,  мы выполняем над ними определенное действие (в уме, на калькуляторе или методом столбика). Значит, сложение является операцией. Покажем ещё несколько примеров операций:

Алгебраические операции сложения, умножения, вычитания и деления выполняются над двумя числами   a  и   b:

 a + b,    a \cdot b,    a - b,    a : b

Алгебраическая операция возведения в степень выполняется над одним числом   a:

 a^p

Число  p в этой операции называется показателем степени и от него зависит, как будет выполняться данная операция. Можно сказать, что  p является параметром данной операции. Легче всего выполнять операцию, когда  p = 0, 1, 2, 3, 4, 5, \ldots

Тригонометрические операции синус, косинус, тангенс и котангенс выполняются над одним числом   a:

 \newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits} \newcommand{\ctg}{\mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits} \sin a,    \newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits} \newcommand{\ctg}{\mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits} \cos a,    \newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits} \newcommand{\ctg}{\mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits} \tg a,    \newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits} \newcommand{\ctg}{\mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits} \ctg a

Есть и другие операции, о которых мы узнаем позже.

Переменные – это буквы в операциях. Вместо них можно подставлять любые числа. Например, в операции сложения    a + b  вместо букв    a  и   b  можно подставить любые числа:   2 + 3,   7 + 5,   12 + 15  и др. Также, в операции синус    \sin a  вместо буквы   a  можно подставить любое число:   \sin 2,    \sin 5,    \sin 8  и т.д.

Результат операции. После выполнения любой операции должен получится конечный результат. Это может быть одно, два или более новых чисел. Например:

В результате сложения двух чисел   a  и   b  получится одно новое число   c:

 a + b = c

 3 + 5 = 8

А в результате извлечения корня из числа   a,  получится уже два новых числа с разными знаками   \pm c:

 \sqrt{a} = \pm c

 \sqrt{9}=\pm 3

Напомним, что здесь число со знаком минус  “ -3”  называется отрицательным, а число со знаком плюс  “ +3”  называется положительным.

Вывод. Операция – это любое действие, которое можно выполнить над одним или двумя числами. После выполнения любой операции должен получится конечный результат в виде одного, двух или более новых чисел.

СПИСОК ОПЕРАЦИЙ

В школьной алгебре около 16 различных операций. Вы только представьте себе, что за все школьные годы нам нужно понять и научиться применять всего 16 различных действия над числами. Вроде бы не так много. Но и этого времени нам часто не хватает. Ниже, представлен список и краткое описание всех операций, изучаемых в школьной алгебре.

Алгебраические операции

  • Арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление)
  • Операция возведения в степень
  • Операция модуль

Тригонометрические операции

  • Синус
  • Косинус
  • Тангенс
  • Котангенс
  • Арксинус
  • Арккосинус
  • Арктангенс
  • Арккотангенс

Логарифмическая операция

Показательная операция

Операция замены (абстракция)

Ниже дано краткое описание всех операций!

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ – это четыре арифметические операции, одна операция возведения в степень и одна операция модуль. Рассмотрим их кратко.

Арифметические операции. Все арифметические операции выполняются над двумя числами  a и  b:

Сложение:

 a + b

Умножение:

 a \cdot b

Вычитание:

 a - b

Деление. Данную операцию можно записать тремя разными способами:

 a : b, \quad a/b, \quad \dfrac{a}{b}

Операция возведения в степень выполняется только над одним числом   a:

    \[  a^p \]

Число   p  называется “показателем степени”. От него зависит способ вычисления данной операции. Например, операции   a^2  и   a^{\tfrac{1}{3}}  вычисляются абсолютно по‑разному, так как у них разные показатели. Перечислим все возможные случаи.

——————————

Возведение в натуральную степень:

    \[  a^n, \]

Например,

    \[  a^1, a^2, a^3, a^4, a^5 \ldots \]

Ещё одно название операции: “степень с натуральным показателем”.

——————————

Возведение в нулевую степень:

    \[  a^0 = 1, \]

Результат данной операции всегда равен 1.

Ещё одно название операции: “степень с нулевым показателем”.

——————————

Возведение в целую отрицательную степень:

    \[  a^{-n}, \]

Например:

    \[  a^{-1}, a^{-2}, a^{-3}, a^{-4}, a^{-5} \ldots \]

Ещё одно название операции: “степень с целым отрицательным показателем”.

——————————

Возведение в дробную степень  \dfrac{1}{n}.  Другое название – извлечение корня.

Операция записывается двумя способами:

    \[  a^{\tfrac{1}{n}} \;\; \Leftrightarrow \;\; \sqrt[\scriptstyle n]{a}, \]

Например:

 a^{\tfrac{1}{2}}, a^{\tfrac{1}{3}}, a^{\tfrac{1}{4}}, a^{\tfrac{1}{5}}, a^{\tfrac{1}{6}} \ldots

или так

 \sqrt[\scriptstyle 2]{a}, \sqrt[\scriptstyle 3]{a},   \sqrt[\scriptstyle 4]{a}, \sqrt[\scriptstyle 5]{a}, \sqrt[\scriptstyle 6]{a} \ldots

——————————

Возведение в дробную положительную степень. Операция записывается двумя способами:

    \[  a^{\tfrac{m}{n}} \;\; \Leftrightarrow \;\; \sqrt[\scriptstyle n]{a^m}, \]

Например:

    \[  a^{\tfrac{3}{2}}, a^{\tfrac{7}{3}}, a^{\tfrac{5}{4}}, a^{\tfrac{9}{5}}, a^{\tfrac{4}{6}} \ldots \]

или так

 \sqrt[\scriptstyle 2]{a^3}, \sqrt[\scriptstyle 3]{a^7}, \sqrt[\scriptstyle 4]{a^5},   \sqrt[\scriptstyle 5]{a^9}, \sqrt[\scriptstyle 6]{a^4} \ldots

Ещё одно название: “степень с дробным положительным показателем”.

——————————

Возведение в дробную отрицательную степень:

    \[  a^{-\tfrac{m}{n}}, \]

Например:

    \[  a^{-\tfrac{3}{2}}, a^{-\tfrac{7}{3}}, a^{-\tfrac{5}{4}}, a^{-\tfrac{9}{5}}, a^{-\tfrac{4}{6}} \ldots \]

Ещё одно название: “степень с дробным отрицательным показателем”.

——————————

Возведение в иррациональную положительную степень:

    \[  a^{\alpha}, \]

Например:

    \[  a^{\sqrt{2}}, \; a^{\sin{3}}, \; a^{\log_{8}5}, \; a^{\pi}, \; \ldots \]

Ещё одно название: “степень с иррациональным положительным показателем”.

——————————

Возведение в иррациональную отрицательную степень:

    \[  a^{-\alpha}, \]

Например:

 a^{-\sqrt{2}}, \; a^{-\sin{3}},   a^{-\log_{8}5}, \; a^{-\pi}, \; \ldots

Ещё одно название: “степень с иррациональным отрицательным показателем”.

Операция модуль тоже относится к алгебраическим операциям. Она выполняется только над одним числом   a:

    \[  \left | a \right | \]

Подробное описание и свойства алгебраических операций смотрите на странице алгебраические операции.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

Тригонометрические операции выполняются только над одним числом  a:

Синус:

 \sin a

Косинус:

 \cos a

Тангенс:

 \newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits} \tg a

Котангенс:

 \newcommand{\ctg}{\mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits} \ctg a

Арксинус:

 \arcsin a

Арккосинус:

 \arccos a

Арктангенс:

 \newcommand{\arctg}{\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits} \arctg a

Арккотангенс:

 \newcommand{\arcctg}{\mathop{\mathrm{arcctg}}\nolimits} \arcctg a

Подробное описание и свойства тригонометрических операций смотрите на странице тригонометрические операции.

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ

Логарифмическая операция выполняется только над одним числом  a:

    \[  \log_{\,p}{a} \]

Число   p  называется “основанием логарифма”. От него не зависит способ его вычисления. Например, операции   \log_{\,3}{a}  и   \log_{\,\scriptstyle \frac{2}{5}}{a}  вычисляются абсолютно одинаково. Поэтому все логарифмы называются одинаково: логарифм по основанию   p.

Кстати, выше была показана операция возведения в степень   a^p.  Вот у этой операции способ вычисления очень сильно зависит от числа   p.  Например, операции   a^2  и   a^{\tfrac{1}{3}}  вычисляются по‑разному.

Подробное описание логарифмической операции смотрите на странице логарифмическая операция.

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ОПЕРАЦИЯ

Показательная операция выполняется только над одним числом   a:

    \[  p^{\textstyle a} \]

Показательная операция   p^{\textstyle a}  по виду очень похожа на операцию возведения в степень   a^p.  Но между ними есть очень сильное отличие! Операция возведения в степень выполняется над “основанием степени” (отмечено синим цветом):

    \[  {\color{Blue} a}^p \]

А вот показательная операция выполняется над “показателем степени” (отмечен синим цветом):

    \[  p^{\textstyle \color{Blue} a} \]

При этом способ вычисления показательной операции   p^{\textstyle a}  не зависит от числа   p,  в то время как способ вычисления операции возведения в степень   a^p  сильно зависит от   p.  Мы уже упоминали об этом выше ▲.

Подробное описание и свойства показательной операции смотрите на странице показательная операция.

Автор: Павел Пяк
Дата публикации: 2018-04-08 12:59:03
Дата изменения: 2019-09-22 12:35:34

Добавить комментарий

Copyright © algebrafan.uz, 2017-2018 Frontier Theme