algebrafan.uz

Алгебра по-новому!

Упрощение одночленов (приведение к стандартному виду)

УПРОЩЕНИЕ ОДНОЧЛЕНОВ

(приведение одночленов к стандартному виду)

Упростить одночлен – это значит преобразовать (переделать) его в более простой и стандартный вид. Рассмотрим примеры упрощения одночленов:

1)      b a c = a b c

2)      a 3 b = 3 a b

3)      c 2 b 5 = 10 b c

4)      2 c (3 a b)^2 =  18 a^2 b^2 c

5)      \dfrac{a^2}{5} c^4 3 b^7 a =  \dfrac{3}{5} a^3 b^7 c^4

6)      2 a d^6 a^3 (-7) =  -14 a^4 d^6

7)    -7 c^2 d^5 c^8 (-5) =  35 c^{10} d^5

8)      2^4 x^9 y^8 (-2)^2 (-x)^4 (-y)^3 =  -64 x^{13} y^{11}

Видно, что после упрощения одночлены стали более упорядоченными, стандартными:

    \[  \pm\,{\color{red} k}\,{\color{Brown} a}^m\,{\color{Brown} b}^n\,{\color{Brown} c}^p\,{\color{Brown} d}^r \ldots, \]

где   {\color{red} k}числовой коэффициент одночлена {\color{Brown} a},\,{\color{Brown} b},\,{\color{Brown} c},\,{\color{Brown} d}переменные одночлена. Сумма показателей   m + n + p + r  называется степенью одночлена. Например, в одночлене стандартного вида

    \[  15 a^3 b^2 c, \]

число   15  называется коэффициентом одночлена, буквы   a,\,b,\,cпеременными одночлена. Сложив показатели одночлена   15 a^{\color{red} 3} b^{\color{red} 2} c^{\color{red} 1}  получим степень одночлена 3 + 2 + 1 = 6.  Отметим, что здесь переменная   c  имеет показатель, равный единице, то есть   c = c^1.

ПРАВИЛА УПРОЩЕНИЯ ОДНОЧЛЕНОВ

Одночлены построены из алгебраических операций умножения   \square \cdot \square,  деления   \dfrac{\square}{{\color{red} \boxtimes}}  и возведения в натуральную степень  \displaystyle  \square^n.  Поэтому, для упрощения одночленов нужно знать свойства этих операций. Их можно найти на странице свойства алгебраических операций. Давайте узнаем, как они применяются на конкретных примерах.

Пример 1. Упростить одночлен   \boldsymbol{b 4 a c}.

Для упрощения данного одночлена нам понадобится всего одно свойство:

 (1)    \text{A} \cdot \text{B} = \text{B} \cdot \text{A}

Свойство   (1)  показывает, что от перемены мест множителей, произведение не меняется. То есть, числа и буквы между которыми стоит операция умножения можно менять местами. В нашем одночленами мы так и сделаем:

 \boldsymbol{b 4 a c = 4 a b c}

Теперь число   4  стоит спереди одночлена, а буквы   a, b, c  – в алфавитном порядке, а это значит, что мы упростили одночлен, то есть привели его к стандартному виду. Итак:

Числа и буквы, между которыми стоит операция умножения, можно менять местами. Другими словами, от перемены мест множителей произведение не меняется.

Пример 2. Упростить одночлен   \boldsymbol{a^5 a^7 b^2 b^3}.

Для упрощения данного одночлена нам понадобится всего одно свойство:

 (1)    \text{A}^r \cdot \text{A}^s = \text{A}^{r + s}

Свойство   (1)  показывает, что при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели можно складывать:

 \boldsymbol{a^5 a^7 b^2 b^3 = a^{5+7} b^{2+3} =}  \boldsymbol{a^{12} b^5}

Теперь одночлен упрощён и приведён к стандартному виду. Итак:

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели можно складывать.

Пример 3. Упростить одночлен   \boldsymbol{(a b)^5 3 c}.

Для упрощения данного одночлена нам понадобятся следующие свойства:

 (1)       \text{A} \cdot \text{B} = \text{B} \cdot \text{A}

 (2)       (\text{A} \cdot \text{B})^r = \text{A}^r \cdot \text{B}^r

Свойство   (2)  показывает, что при возведении в степень нескольких множителей, нужно каждый из них возвести в эту же степень:

 \boldsymbol{(a b)^5 3 c = a^5 b^5 3 c}

С помощью свойства   (1)  поставим число спереди, а буквы в алфавитном порядке:

 \boldsymbol{a^5 b^5 3 c = 3 a^3 b^3 c}

Теперь одночлен упрощён и приведён к стандартному виду. Итак:

При возведении в степень нескольких множителей, можно каждый из них возвести в эту же степень.

Пример 4. Упростить одночлен   \boldsymbol{x^2 y \cdot (-2 x y)}.

Для упрощения данного одночлена нам понадобятся следующие свойства:

 (1)       \text{A} \cdot \text{B} = \text{B} \cdot \text{A}

 (2)       \text{A}^r \cdot \text{A}^s = \text{A}^{r + s}

 (3)    -\text{A} \cdot \text{B} = \text{A} \cdot (-\text{B})

Про свойства   (1)  и   (2)  мы уже говорили выше, а свойство   (3)  подсказывает нам, как поступать со знаками минус при умножении. Один минус даёт в ответе минус:

 \boldsymbol{x^2 y \cdot (-2 x y) = -2 \cdot (x^2 \cdot x) \cdot (y \cdot y) = -2 x^3 y^2}

Итак, к предыдущим правилам добавим ещё одно:

Если в одночлене один минус, то ответ будет отрицательным. И, вообще, если в одночлене нечётное число минусов (1, 3, 5, ...), то ответ будет отрицательным.

 

В доработке!!!

Автор: Павел Пяк
Дата публикации: 2018-01-07 15:40:57
Дата изменения: 2018-10-28 23:17:33

Добавить комментарий

Copyright © algebrafan.uz, 2017-2020 Frontier Theme