algebrafan.uz

Алгебра по-новому!

ОПЕРАЦИЯ ЗАМЕНЫ (АБСТРАКЦИЯ)

Практически во всех задачах алгебры приходиться заменять одни комбинации букв (переменных) на другие. Важность и смысл данной операции легче всего понять на конкретных примерах.

Например, дано выражение:

\dfrac{a+b}{c} \left(\dfrac{2\,a^2}{a+b} + \dfrac{5}{(a+b)^2}\right)             (1)

Буквы a, b и c в этом выражении – это какие-то неизвестные числа. Но мы точно знаем, что после их сложения, умножения, деления, вычитания (и выполнения других операций) в ответе должны получиться какие-то новые числа. Например, все дроби в нашем выражении (1) равны каким-то новым числам  \text{A}, \text{B}, \text{C},  на которые мы и заменим их:

{\color{red} \dfrac{a+b}{c}} = {\color{red} \text{A}},      {\color{blue} \dfrac{2\,a^2}{a+b}} = {\color{blue} \text{B}},      \definecolor{forestgreen}{rgb}{0.13, 0.55, 0.13} {\color{forestgreen} \dfrac{5}{(a+b)^2}} = {\color{forestgreen} \text{C}}             (2)

Тогда, наше выражение примет очень простой вид:

\definecolor{forestgreen}{rgb}{0.13, 0.55, 0.13} {\color{red} \dfrac{a+b}{c}} \left({\color{blue} \dfrac{2\,a^2}{a+b}} + {\color{forestgreen} \dfrac{5}{(a+b)^2}}\right) = {\color{red} \text{A}} \cdot ({\color{blue} \text{B}} + {\color{forestgreen} \text{C}})             (3)

Если теперь открыть страницу свойства алгебраических операций и найти свойство [6], то оно подскажет нам, какие ещё преобразования можно выполнить с нашим выражением:

\dfrac{a+b}{c} \left(\dfrac{2\,a^2}{a+b} + \dfrac{5}{(a+b)^2}\right) = \text{A} \cdot (\text{B} + \text{C}) = \text{A} \cdot \text{B} + \text{A} \cdot \text{C}             (4)

Вспоминая теперь, что буквы  \text{A}, \text{B}, \text{C}  заменяют нам дроби (2), подставим их в выражение (4) и получим:

\dfrac{a+b}{c} \left(\dfrac{2\,a^2}{a+b} + \dfrac{5}{(a+b)^2}\right) = \dfrac{a+b}{c} \cdot \dfrac{2\,a^2}{a+b} + \dfrac{a+b}{c} \cdot \dfrac{5}{(a+b)^2}             (5)

Можно было бы и дальше преобразовывать выражение (1), но мы не будем этого делать, так как для нас сейчас главное – понять смысл операции замены букв (переменных) и в дальнейшем научиться её использовать.

Итак, операция замены одних комбинаций букв (переменных) на другие используется, чтобы упрощать (делать более простыми) выражения, функции, уравнения и неравенства. Например, из соотношения (3) видно, как сильно упростилось сложное выражение после замены дробей на буквы (2). Конечно, такие упрощения делаются не просто так, а для того, чтобы потом было легче увидеть и воспользоваться свойствами разных операций (алгебраических, логарифмических, тригонометрических или показательных). Например, в соотношении (4) мы легко заметили и воспользовались свойством [6] алгебраических операций, и раскрыли скобки.

И ещё одно важное замечание про операцию замены:

В алгебре, операция замены одних комбинаций букв (переменных) на другие выполняется либо в уме, либо письменно (на черновике). Например, в выражении (1), замену переменных (2) можно было бы выполнить в уме. Таким же образом, в уме, можно было бы выполнить шаги (3) и (4), и сразу написать конечный результат в виде соотношения (5). Это есть пример математического абстрактного мышления, которому может научиться каждый человек!
Главное – тренировка!

Задачи

Попробуйте самостоятельно найти правильную замену в следующих выражениях:

В доработке!!!

В доработке!!!

В доработке!!!

Автор: Павел Пяк
Дата публикации: 2018-07-31 01:11:07
Дата изменения: 2018-08-04 02:42:33

Copyright © algebrafan.uz, 2017-2018 Frontier Theme