ОПЕРАЦИЯ ЗАМЕНЫ (АБСТРАКЦИЯ)

Практически во всех задачах алгебры приходиться заменять одни комбинации букв (переменных) на другие. Важность и смысл данной операции легче всего понять на конкретных примерах.

Например, дано выражение:

$\dfrac{a+b}{c} \left(\dfrac{2\,a^2}{a+b} + \dfrac{5}{(a+b)^2}\right)$ $(1)$

Буквы $a,$ $b$ и $c$ в этом выражении — это какие-то неизвестные числа. Но мы точно знаем, что после их сложения, умножения, деления, вычитания (и выполнения других операций) в ответе должны получиться какие-то новые числа. Например, все дроби в нашем выражении $(1)$ равны каким-то новым числам $\text{A}, \text{B}, \text{C},$ на которые мы и заменим их:

${\color{red} \dfrac{a+b}{c}} = {\color{red} \text{A}},$ ${\color{blue} \dfrac{2\,a^2}{a+b}} = {\color{blue} \text{B}},$ $\definecolor{forestgreen}{rgb}{0.13, 0.55, 0.13} {\color{forestgreen} \dfrac{5}{(a+b)^2}} = {\color{forestgreen} \text{C}}$ $(2)$

Тогда, наше выражение примет очень простой вид:

$\definecolor{forestgreen}{rgb}{0.13, 0.55, 0.13} {\color{red} \dfrac{a+b}{c}} \left({\color{blue} \dfrac{2\,a^2}{a+b}} + {\color{forestgreen} \dfrac{5}{(a+b)^2}}\right) = {\color{red} \text{A}} \cdot ({\color{blue} \text{B}} + {\color{forestgreen} \text{C}})$ $(3)$

Если теперь открыть страницу свойства алгебраических операций и найти свойство [6], то оно подскажет нам, какие ещё преобразования можно выполнить с нашим выражением:

$\dfrac{a+b}{c} \left(\dfrac{2\,a^2}{a+b} + \dfrac{5}{(a+b)^2}\right) = \text{A} \cdot (\text{B} + \text{C}) = \text{A} \cdot \text{B} + \text{A} \cdot \text{C}$ $(4)$

Вспоминая теперь, что буквы $\text{A}, \text{B}, \text{C}$ заменяют нам дроби $(2),$ подставим их в выражение $(4)$ и получим:

$\dfrac{a+b}{c} \left(\dfrac{2\,a^2}{a+b} + \dfrac{5}{(a+b)^2}\right) = \dfrac{a+b}{c} \cdot \dfrac{2\,a^2}{a+b} + \dfrac{a+b}{c} \cdot \dfrac{5}{(a+b)^2}$ $(5)$

Можно было бы и дальше преобразовывать выражение $(1),$ но мы не будем этого делать, так как для нас сейчас главное — понять смысл операции замены букв (переменных) и в дальнейшем научиться её использовать.

Итак, операция замены одних комбинаций букв (переменных) на другие используется, чтобы упрощать (делать более простыми) выражения, функции, уравнения и неравенства. Например, из соотношения $(3)$ видно, как сильно упростилось сложное выражение после замены дробей на буквы $(2).$ Конечно, такие упрощения делаются не просто так, а для того, чтобы потом было легче увидеть и воспользоваться свойствами разных операций (алгебраических, логарифмических, тригонометрических или показательных). Например, в соотношении $(4)$ мы легко заметили и воспользовались свойством [6] алгебраических операций, и раскрыли скобки.

И ещё одно важное замечание про операцию замены:

В алгебре, операция замены одних комбинаций букв (переменных) на другие выполняется либо в уме, либо письменно (на черновике). Например, в выражении $(1),$ замену переменных $(2)$ можно было бы выполнить в уме. Таким же образом, в уме, можно было бы выполнить шаги $(3)$ и $(4),$ и сразу написать конечный результат в виде соотношения $(5).$ Это есть пример математического абстрактного мышления, которому может научиться каждый человек!
Главное — тренировка!

Задачи

Попробуйте самостоятельно найти правильную замену в следующих выражениях:

В доработке!!!

algebrafan.uz

Алгебра по-новому!

ОПЕРАЦИЯ ЗАМЕНЫ (АБСТРАКЦИЯ)

Задачи

ИНСТРУМЕНТЫ

ОСНОВА АЛГЕБРЫ

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ОПЕРАЦИЯ

Последние комментарии

Поиск по сайту

algebrafan.uz

Алгебра по-новому!

Задачи

ИНСТРУМЕНТЫ

ОСНОВА АЛГЕБРЫ

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ОПЕРАЦИЯ

Последние комментарии

Войти

Поиск по сайту