algebrafan.uz

Алгебра по-новому!

УРАВНЕНИЯ

ЧТО НАЗЫВАЕТСЯ УРАВНЕНИЕМ?

Уравнением в алгебре называется конструкция, построенная из букв, чисел и операций. Например, уравнение

(1)   \begin{equation*}   3 \cdot x^2 + 8 \cdot x - 5 = 0 \end{equation*}

построено из:

  • буквы  x, которая является неизвестным числом, или просто неизвестной.
  • чисел 2, 3, 5, 8;
  • операций:
    • плюс  \square + \square
    • минус  \square - \square
    • умножение  \square \cdot \square
    • возведение в квадрат  \displaystyle \square^2

Попробуйте найти все эти операции в уравнении (1).

Для чего нужны уравнения? С помощью уравнений можно находить неизвестные числа  x, y, z, \ldots  В этом заключается их основной смысл. А сам процесс нахождения неизвестных переменных называется решением уравнения.

В повседневной жизни мы встречаемся с уравнениями каждый день и по нескольку раз. Например, в магазине, при покупке яблок и груш, ценой 5000 и 15000 сум, нам придётся составить и решить в уме самое простое уравнение:

(2)   \begin{equation*}   5000 + 15000 = x \end{equation*}

Чтобы решить это уравнение, то есть найти неизвестную переменную  x, нам придёться выполнить только одну операцию сложения:  x = 20000 сум. Такие простые уравнения мы составляем и решаем в уме!

Конечно, есть и намного более сложные уравнения! Вы, наверное, помните задачи на смеси и проценты. Они тоже имеют практическую пользу и часто встречаются в жизни. В таких задачах также сначала нужно составить уравнение, а потом решить его. Но составлять и решать в уме такие уравнения уже намного сложнее! Лучше на бумаге!

К счастью, чаще всего в задачах даются уже готовые уравнения и поэтому их не нужно составлять, а нужно только решать. Например, могут попросить решить уравнение:   3 \cdot x^2 + 8 \cdot x - 5 = 0.  При этом, кто составил данное уравнение и для каких целей, нас не будет интересовать!

Итак, наша цель – научиться: (А) составлять и решать уравнения, или (Б) просто решать уравнения, если они уже кем-то составлены.

ВИДЫ УРАВНЕНИЙ

Уравнения бывают разных видов. Какое именно перед вами уравнение, определить достаточно просто: нужно посмотреть из каких операций оно построено! Например, показанное выше уравнение (1) является алгебраическим уравнением, так как оно построено из чисел и алгебраических операций. То есть логика здесь очень простая:

  • Алгебраические уравнения – построены из чисел, букв и алгебраических операций;
  • Тригонометрические уравнения – построены из чисел, букв, алгебраических и тригонометрических операций;
  • Логарифмические уравнения – построены из чисел, букв, алгебраических и логарифмических операций;
  • Показательные уравнения – построены из чисел, букв, алгебраических и показательных операций.

Внимательный читатель обратит внимание, что алгебраические операции могут входить не только в алгебраические, но и в тригонометрические, логарифмические и показательные уравнения. Дело в том, что они самые распространённые среди других операций. Ведь чаще всего мы имеем дело со сложением, вычитанием, умножением и делением, чем с логарифмами, синусами, косинусами, тангенсами и котангенсами. Даже саму алгебру назвали в честь алгебраических операций!

И ещё одно важное замечание! Научиться определять вид любого уравнения очень важное умение! Дело в том, что в алгебре очень много заданий на тему уравнений и, поэтому, научившись определять их вид, можно легко и быстро найти способ их решения в интернете или учебнике.

СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ УРАВНЕНИЙ

В алгебре решают также системы и совокупности уравнений. Показать их отличие легче всего на примерах.

Пусть имеется “система” из трёх уравнений (система обозначается фигурной скобкой):

 \left\{ \begin{aligned} & x - 3 = 2\\ & 2x + 3 = 7\\ & x - 2 = 0\\ \end{aligned} \right

и точно такая же “совокупность” уравнений (совокупность обозначается прямой скобкой):

 \left[ \begin{aligned} & x - 3 = 2\\ & 2x + 3 = 7\\ & x - 2 = 0\\ \end{aligned} \right.

Ясно, что одинаковые уравнения будут иметь одинаковые решения. Проверьте, подстановкой:

 \left\{\begin{aligned} & x - 3 = 2\\ & 2x + 3 = 7 \,\,\,\,\,\, <-- \\ & x - 2 = 0\\ \end{aligned} \,\,\,\,\,\, \left\{\begin{aligned} & x_1 = 5\\ &  x_2 = 2 \\ & x_3 = 2\\ \end{aligned}\right

 \left[ \begin{aligned} & x - 3 = 2\\ & 2x + 3 = 7 \,\,\,\,\,\, <-- \\ & x - 2 = 0\\ \end{aligned} \,\,\,\,\,\ \left[ \begin{aligned} & x_1 = 5\\ &  x_2 = 2 \\ & x_3 = 2\\ \end{aligned}\right.

Но тогда чем отличаются между собой данная система и совокупность уравнений? Оказывается, в “системе уравнений” нужно взять только совпадающие решения, а в “совокупности уравнений” – все решения. То есть, решением “системы уравнений” будет только  x=2, а решением “совокупности уравнений”  x=5 и  x=2. А именно:

 \left\{\begin{aligned} & x - 3 = 2\\ & 2x + 3 = 7 \,\,\,\,\,\, --> \\ & x - 2 = 0\\ \end{aligned} \,\,\,\,\,\, \left\{\begin{aligned} &  x = 2 \end{aligned}\right

 \left[ \begin{aligned} & x - 3 = 2\\ & 2x + 3 = 7 \,\,\,\,\,\, --> \\ & x - 2 = 0\\ \end{aligned} \,\,\,\,\,\ \left[ \begin{aligned} & x = 5\\ &  x = 2 \\ \end{aligned}\right.

Наша цель – научиться: (А) составлять и решать системы и совокупности уравнений, или (Б) просто решать их, если они уже кем-то составлены.

ЗАДАЧИ С УРАВНЕНИЯМИ

Все задачи с уравнениями однотипные и сводятся к следующим:

  1. Решить уравнение;
  2. Составить уравнение, а потом решить его;
  3. Решить систему уравнений;
  4. Составить систему уравнений, а потом решить её;
  5. Решить совокупность уравнений;
  6. Составить совокупность уравнений, а потом решить её.

В доработке!

Автор: Павел Пяк
Дата публикации: 2018-01-07 15:40:57
Дата изменения: 2019-05-22 16:24:31

Добавить комментарий

Copyright © algebrafan.uz, 2017-2018 Frontier Theme