algebrafan.uz

Алгебра по-новому!

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Страница в доработке!

Все содержание будет изменяться!

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Логарифмические уравнения – это уравнения, построенные из логарифмических и алгебраических операций. Например:

 \log_{2}{(3x - 6)} = \log_{2}{(2x - 3)}

 \log_{5}{(x^2 - 6x + 7)}\,  = \log_{5}{(x - 3)}

 \log_{2x-1}{\dfrac{x^4 + 2}{2x + 1}} = 1

Для решения логарифмических уравнений нужно знать:

  1. Свойства алгебраических операций
  2. Свойства логарифмических операций

Откройте эти страницы и используйте их, как подсказки, при решении логарифмических уравнений.

ОСНОВНЫЕ ВИДЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Большинство логарифмических уравнений можно свести к одному из следующих видов:

1. Логарифмические уравнения с логарифмом только в левой части:

    \[  \log_{\text{a}}{\text{P}(x)} = \text{b}, \]

где  \text{a} и  \text{b} – это некоторые числа,  \text{P}(x) – некоторое выражение с неизвестным  x. Способы решения смотрите ниже .

2. Логарифмические уравнения с логарифмами в левой и правой части, имеющих одинаковое основание   \text{a}:

    \[  \log_{\text{a}}{\text{P}(x)} = \log_{\text{a}}{\text{R}(x)}, \]

где  \text{a} – это некоторое число, а  \text{P}(x) и  \text{R}(x) – некоторые выражения с неизвестным  x. Способы решения смотрите ниже .

3. Логарифмические уравнения с логарифмом только в левой части:

    \[  \log_{\text{g}(x)}{\text{P}(x)} = \text{b}, \]

где  \text{b} – это некоторое число, а  \text{g}(x) и  \text{P}(x) некоторые выражения с неизвестным  x. Способы решения смотрите ниже .

Решение логарифмических уравнений вида

 \boldsymbol{ \log_{\text{a}}{\text{P}(x)} = \text{b} }

Данный вид логарифмических уравнений считается самым простым и встречается чаще всего. Способ решения таких уравнений основан на определении логарифма. Напомним, что логарифм позволяет вычислить показатель   b  степени   a^b = \text{P}(x),  если известно основание   a  и результат   b.  То есть:

 a^p = b,

 \log_{a}{b} = p.

Пример 1. Решить логарифмическое уравнение:

 \log_{5}{x} = 3

Так как в уравнение входит логарифмическая операция, то она накладывает на переменную   x  некоторые ограничения (см. свойства логарифмической операции). А именно, должно быть:

ОДЗ:  x > 0.

Теперь можно воспользоваться определением логарифма и сразу получить ответ:

 x = 5^3 = 125.

Данное решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ:   x = 125.

 

Автор: Павел Пяк
Дата публикации: 2020-09-17 23:58:57
Дата изменения: 2020-09-18 00:01:26

Copyright © algebrafan.uz, 2017-2020 Frontier Theme