algebrafan.uz

Алгебра по-новому!

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ОПЕРАЦИИ

Операция логарифмирования позволяет найти показатель   p  степени   a^p = b,  если известно основание   a  и результат   b.  Например, с помощью логарифма можно найти показатель в следующей степени:

 3^p = 9

Вы, наверное, уже догадались, что   p = 2,  но в математике любые действия, которые мы выполняем в уме, нужно записывать в виде операций! И, в данном случае, мы выполняем в уме операцию логарифмирования:

 p = \log_{3}{9} = 2

Вот еще несколько простых примеров:

 p = \log_{2}{8} = 3

 p = \log_{5}{25} = 2

 p = \log_{3}{27} = 3

 p = \log_{2}{32} = 5

 p = \log_{12}{144} = 2

В примерах, которые мы только что показали, операцию логарифмирования можно было вычислить в уме. Однако в некоторых случаях это можно сделать только на калькуляторе! Например, невозможно вычислить в уме следующий логарифм:

 p = \log_{3}{5}

В этом случае, можно воспользоваться калькулятором или каким-нибудь онлайн сервисом с возможностью вычисления логарифма. Тогда получим:

 p = \log_{3}{5}  = 1{,}464973 \ldots

Ответ равен бесконечной десятичной дроби, то есть иррациональному числу.

Итак, операция логарифмирования записывается следующим образом:

Она позволяет найти показатель   p  степени   a^p = b,  если известно основание   a  и результат   b:

СВОЙСТВА ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ОПЕРАЦИИ

Первое, самое главное свойство логарифмической операции заключается в том, что она обладает некоторыми ограничениями:

 [1]     Числа   \text{A}  и   \text{B}  в операции   \log_{\text{A}}{\text{B}}  имеют следующие ограничения:

 \text{A} > 0, \; \text{A} \neq 1, \; \text{B} > 0.

Раньше мы уже сталкивались с подобными ограничениями в операциях. Например, в операции деления   \dfrac{\text{A}}{\text{B}}  запрещалось деление на ноль, то есть   \text{B} \neq 0  (см. свойства алгебраических операций).

 [2] \;\;\;\;  \text{A}^{\log_{\text{A}}{\text{B}}} = \text{B}

 [3] \;\;\;\, \log_{\text{A}}{1} = 0

 [4] \;\;\;\, \log_{\text{A}}{\text{A}} = 1

 [5] \;\;\;\, \log_{\text{A}}{(\text{B} \cdot \text{C})}  = \log_{\text{A}}{\text{B}} + \log_{\text{A}}{\text{C}}

 [6] \;\;\;\, \log_{\text{A}}{\left(\dfrac{\text{B}}{\text{C}}\right)}  = \log_{\text{A}}{\text{B}} - \log_{\text{A}}{\text{C}}

 [7] \;\;\;\, \log_{\text{A}}{\text{B}^p} = p \log_{\text{A}}{\text{B}}

 [8] \;\;\;\, \log_{\text{A}^p}{\text{B}} = \dfrac{1}{p} \log_{\text{A}}{\text{B}}

 [9] \;\;\;\, \log_{\text{A}}{\text{B}} = \log_{\text{A}^p}{\text{B}^p}

 [10] \;\; \log_{\text{A}}{\text{B}} = \dfrac{\log_{ \text{C}}{\text{B}} }{ \log_{ \text{C}}{\text{A}} }

 [11] \;\; \log_{\text{A}}{\text{B}} = \dfrac{\log_{ \text{B}}{\text{B}} }{ \log_{ \text{B}}{\text{A}} }  = \dfrac{1}{ \log_{ \text{B}}{\text{A}} }

Свойства [8-11] могут использоваться для перехода к новому основанию, поэтому их часто называют свойствами перехода к новому основанию. Эти свойства мы будем часто использовать при решении логарифмических уравнений и неравенств,

Обратите внимание!!! Некоторые свойства нужно применять очень аккуратно, так как после их применения может нарушиться свойство [1], согласно которому должны выполняться следующие условия:   \text{A} > 0, \; \text{A} \neq 1, \; \text{B} > 0.  Например, попробуем применить свойство [6], если   \text{A} = 2,   \text{B} = -16,   \text{C} = -4.  В этом случае, получим:

 \log_{2}{\left(\dfrac{-16}{-4}\right)}  = \log_{2}{(-16)} - \log_{2}{(-4)}

Слева от знака равно, получается логарифм, который вполне можно вычислить, так как свойство [1] не нарушается:

 \log_{2}{\left(\dfrac{-16}{-4}\right)}  = \log_{2}{\left(\dfrac{16}{4}\right)} = \log_{2}{8} = 3

Здесь два минуса при делении дают плюс (см. свойства алгебраических операций).

А вот справа от знака равно получаются логарифмы от отрицательных чисел:

 \log_{2}{(-16)}  и   \log_{2}{(-4)},

которые нельзя вычислить, так как они запрещены свойством [1].

Поэтому, свойства логарифмов нужно применять очень аккуратно: всегда следите за выполнением свойства [1] !!!

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВ

Некоторые из свойств [1-11] являются первичными, а другие вторичными. Вторичные свойства можно доказать с помощью первичных (смотрите ниже доказательство некоторых свойств ▼).

В РАЗРАБОТКЕ!!!

Автор: Павел Пяк
Дата публикации: 2018-12-16 12:14:20
Дата изменения: 2018-12-16 12:26:20

Copyright © algebrafan.uz, 2017-2018 Frontier Theme