ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ОПЕРАЦИИ

Операция логарифмирования позволяет найти показатель $p$ степени $a^p = b$ , если известно основание $a$ и результат $b$ . Например, с помощью логарифма можно найти показатель в следующей степени:

$3^p = 9$

Вы, наверное, уже догадались, что $p = 2,$ но в математике любые действия, которые мы выполняем в уме, нужно записывать в виде операций! И, в данном случае, мы выполняем в уме операцию логарифмирования:

$p = \log_{3}{9} = 2$

Вот еще несколько простых примеров:

$p = \log_{2}{8} = 3$

$p = \log_{5}{25} = 2$

$p = \log_{3}{27} = 3$

$p = \log_{2}{32} = 5$

$p = \log_{12}{144} = 2$

В примерах, которые мы только что показали, операцию логарифмирования можно было вычислить в уме. Однако в некоторых случаях это можно сделать только на калькуляторе! Например, невозможно вычислить в уме следующий логарифм:

$p = \log_{3}{5}$

В этом случае, можно воспользоваться калькулятором или каким-нибудь онлайн сервисом с возможностью вычисления логарифма. Тогда получим:

$p = \log_{3}{5}$

Ответ равен бесконечной десятичной дроби, то есть иррациональному числу.

Итак, операция логарифмирования записывается следующим образом:

Она позволяет найти показатель $p$ степени $a^p = b,$ если известно основание $a$ и результат $b:$

$p = \log_{a}{b}$

СВОЙСТВА ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ОПЕРАЦИИ

Первое, самое главное свойство логарифмической операции заключается в том, что она обладает некоторыми ограничениями:

$[1]$ Числа $\text{A}$ и $\text{B}$ в операции $\log_{\text{A}}{\text{B}}$ имеют следующие ограничения:

$\text{A} > 0, \; \text{A} \neq 1, \; \text{B} > 0.$

Раньше мы уже сталкивались с подобными ограничениями в операциях. Например, в операции деления $\dfrac{\text{A}}{\text{B}}$ запрещалось деление на ноль, то есть $\text{B} \neq 0$ (см. свойства алгебраических операций).

$[2] \;\;\;\; \text{A}^{\log_{\text{A}}{\text{B}}} = \text{B}$

$[3] \;\;\;\, \log_{\text{A}}{1} = 0$

$[4] \;\;\;\, \log_{\text{A}}{\text{A}} = 1$

$[5] \;\;\;\, \log_{\text{A}}{(\text{B} \cdot \text{C})}$ $= \log_{\text{A}}{\text{B}} + \log_{\text{A}}{\text{C}}$

$[6] \;\;\;\, \log_{\text{A}}{\left(\dfrac{\text{B}}{\text{C}}\right)}$ $= \log_{\text{A}}{\text{B}} - \log_{\text{A}}{\text{C}}$

$[7] \;\;\;\, \log_{\text{A}}{\text{B}^p} = p \log_{\text{A}}{\text{B}}$

$[8] \;\;\;\, \log_{\text{A}^p}{\text{B}} = \dfrac{1}{p} \log_{\text{A}}{\text{B}}$

$[9] \;\;\;\, \log_{\text{A}}{\text{B}} = \log_{\text{A}^p}{\text{B}^p}$

$[10] \;\; \log_{\text{A}}{\text{B}} = \dfrac{\log_{ \text{C}}{\text{B}} }{ \log_{ \text{C}}{\text{A}} }$

$[11] \;\; \log_{\text{A}}{\text{B}} = \dfrac{\log_{ \text{B}}{\text{B}} }{ \log_{ \text{B}}{\text{A}} }$ $= \dfrac{1}{ \log_{ \text{B}}{\text{A}} }$

Свойства [8-11] могут использоваться для перехода к новому основанию, поэтому их часто называют свойствами перехода к новому основанию. Эти свойства мы будем часто использовать при решении логарифмических уравнений и неравенств,

Обратите внимание!!! Некоторые свойства нужно применять очень аккуратно, так как после их применения может нарушиться свойство [1], согласно которому должны выполняться следующие условия: $\text{A} > 0, \; \text{A} \neq 1, \; \text{B} > 0.$ Например, попробуем применить свойство [6], если $\text{A} = 2,$ $\text{B} = -16,$ $\text{C} = -4.$ В этом случае, получим:

$\log_{2}{\left(\dfrac{-16}{-4}\right)}$ $= \log_{2}{(-16)} - \log_{2}{(-4)}$

Слева от знака равно, получается логарифм, который вполне можно вычислить, так как свойство [1] не нарушается:

$\log_{2}{\left(\dfrac{-16}{-4}\right)}$ $= \log_{2}{\left(\dfrac{16}{4}\right)} = \log_{2}{8} = 3$

Здесь два минуса при делении дают плюс (см. свойства алгебраических операций).

А вот справа от знака равно получаются логарифмы от отрицательных чисел:

$\log_{2}{(-16)}$ и $\log_{2}{(-4)},$

которые нельзя вычислить, так как они запрещены свойством [1].

Поэтому, свойства логарифмов нужно применять очень аккуратно: всегда следите за выполнением свойства [1] !!!

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВ

Некоторые из свойств [1-11] являются первичными, а другие вторичными. Вторичные свойства можно доказать с помощью первичных (смотрите ниже доказательство некоторых свойств ▼).

В РАЗРАБОТКЕ!!!

algebrafan.uz

Алгебра по-новому!

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ОПЕРАЦИИ

СВОЙСТВА ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ОПЕРАЦИИ

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВ

ИНСТРУМЕНТЫ

ОСНОВА АЛГЕБРЫ

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ОПЕРАЦИЯ

Последние комментарии

Поиск по сайту

algebrafan.uz

Алгебра по-новому!

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ОПЕРАЦИИ

СВОЙСТВА ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ОПЕРАЦИИ

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВ

ИНСТРУМЕНТЫ

ОСНОВА АЛГЕБРЫ

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ОПЕРАЦИЯ

Последние комментарии

Войти

Поиск по сайту