algebrafan.uz

Алгебра по-новому!

Умножение обыкновенных дробей

Обыкновенные дроби – это дробные числа, записанные с помощью операции деления:

    \[ \dfrac{1}{2}; \;\; \dfrac{4}{3}; \;\; -\dfrac{5}{12}; \;\; \dfrac{1}{4}; \;\; -\dfrac{4}{8}; \;\; \ldots \]

На этой странице мы познакомимся с правилами умножения обыкновенных дробей.

 Правила умножения обыкновенных дробей.

Изучим эти правила на конкретных примерах.

Пример 1. Умножить обыкновенные дроби:    \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{21}{8}

Решение. Для умножения двух обыкновенных дробей есть уже готовая формула – это свойство умножения дробей:

    \[ \definecolor{darkg}{RGB}{0,123,0} \definecolor{darky}{RGB}{102,0,102} \frac{\color{red} \text{A}}{\color{red} \text{B}} \cdot \frac{\color{blue} \text{C}}{\color{blue} \text{D}} = \frac{ {\color{red} \text{A}} \cdot {\color{blue} \text{C}} }{ {\color{red} \text{B}} \cdot {\color{blue} \text{D}} } \]

С помощью этой формулы легко решить нашу задачу:

    \[ \definecolor{darkg}{RGB}{0,123,0} \definecolor{darky}{RGB}{102,0,102} \underbrace{ \frac{ \color{red} 3 }{ \color{red} 5 } \cdot \frac{ \color{blue} 21 }{ \color{blue} 8 } }_{ \tfrac{\color{red} \text{A}}{\color{red} \text{B}} \; \cdot \; \tfrac{\color{blue} \text{C}}{\color{blue} \text{D}} } = \underbrace{ \frac{{\color{red} 3} \cdot {\color{blue} 21} }{ {\color{red} 5} \cdot {\color{blue} 8} } }_{ \tfrac{ {\color{red} \text{A}} \; \cdot \; {\color{blue} \text{C}} }{ {\color{red} \text{B}} \; \cdot \; {\color{blue} \text{D}} } } = \frac{63}{40} \]

Ответ:  \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{21}{8} = \dfrac{3 \cdot 21}{5 \cdot 8} = \dfrac{63}{40}.

Из этого примера следует общее правило:

Правило 1. Для умножения двух обыкновенных дробей нужно использовать свойство умножения дробей:

    \[ \boxed{ \frac{\text{A}}{\text{B}} \cdot \frac{\text{C}}{\text{D}} = \frac{\text{A} \cdot \text{C} }{ \text{B} \cdot \text{D} } } \]

Ещё несколько примеров для запоминания правила 1:

\displaystyle  \text{1)} \;\; \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 4} = \frac{3}{20} \,, \quad \text{2)} \;\; \frac{9}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{9 \cdot 2}{3 \cdot 3} = \frac{18}{9}

\displaystyle  \text{3)} \;\; \frac{5}{7} \cdot \frac{10}{3} = \frac{5 \cdot 10}{7 \cdot 3} = \frac{50}{21} \,, \quad \text{4)} \;\; \frac{6}{4} \cdot \frac{3}{5} = \frac{6 \cdot 3}{4 \cdot 5} = \frac{18}{20}

Пример 2. Умножить обыкновенные дроби:    \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{7}{8} \cdot \dfrac{14}{4}

Решение. Умножим по правилу 1 ▲ первые две дроби   \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{4}  и последние две дроби   \dfrac{7}{8} \cdot \dfrac{14}{4}:

    \[ \definecolor{darkg}{RGB}{0,123,0} \definecolor{darky}{RGB}{102,0,102} \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{14}{4} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \cdot \frac{7 \cdot 14}{8 \cdot 4} \]

Полученные две дроби   \dfrac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}  и   \dfrac{7 \cdot 14}{8 \cdot 4}  опять умножим по правилу 1 ▲:

    \[ \underbrace{ \frac{\color{red} 1 \cdot 3}{\color{red} 2 \cdot 4} \cdot \frac{\color{blue} 7 \cdot 14}{\color{blue} 8 \cdot 4} }_{ \tfrac{\color{red} \text{A}}{\color{red} \text{B}} \;\;\; \cdot \;\;\; \tfrac{\color{blue} \text{C}}{\color{blue} \text{D}} } = \underbrace{ \frac{ {\color{red} 1 \cdot 3} \cdot {\color{blue} 7 \cdot 14} }{ {\color{red} 2 \cdot 4} \cdot {\color{blue} 8 \cdot 4} } }_{ \tfrac{ {\color{red} \text{A}} \; \cdot \; {\color{blue} \text{C}} }{ {\color{red} \text{B}} \; \cdot \; {\color{blue} \text{D}} } } = \dfrac{294}{256} \]

Ответ:   \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{7}{8} \cdot \dfrac{14}{4} = \dfrac{1 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 14}{2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot 4} = \dfrac{294}{256}.

Из этого примера следует общее правило:

Правило 2. Для умножения нескольких обыкновенных дробей, нужно отдельно умножить все их числители и знаменатели:

    \[ \boxed{ \frac{\text{A}}{\text{B}} \cdot \frac{\text{C}}{ \text{D}} \cdot \frac{\text{E}}{\text{F}} \cdot \frac{\text{G}}{\text{H}} \cdot \frac{\text{J}}{\text{K}}  = \frac{\text{A} \cdot \text{C} \cdot \text{E} \cdot \text{G} \cdot \text{J}}{\text{B} \cdot \text{D} \cdot \text{F} \cdot \text{H} \cdot \text{K}} } \]

Ещё несколько примеров для запоминания правила 2:

\displaystyle  \text{1)} \;\; \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{4} \cdot \dfrac{9}{2} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 9}{5 \cdot 4 \cdot 2} = \frac{27}{40}

\displaystyle  \text{2)} \;\; \frac{5}{7} \cdot \frac{10}{3} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{6}{8} = \frac{5 \cdot 10 \cdot 2 \cdot 6}{7 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 8} = \frac{600}{672}

\displaystyle  \text{3)} \;\; \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{7}{5} \cdot \frac{2}{6} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3}{2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 2} = \frac{126}{480}

Пример 3. Умножить обыкновенные дроби:

 \displaystyle \text{a)} \;\; \frac{5}{7} \cdot \left(-\frac{1}{6}\right) \cdot \frac{2}{3};

 \displaystyle \text{b)} \; -\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} \cdot \left(-\frac{7}{8}\right) \cdot \frac{2}{9};

 \displaystyle \text{c)} \;\; \frac{12}{4} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) \cdot \left(-\frac{1}{8}\right) \cdot \left(-\frac{5}{6}\right)

Решение. В доработке!!!

 

Автор: Павел Пяк
Дата публикации: 2018-01-07 15:40:57
Дата изменения: 2018-08-07 00:37:17

Добавить комментарий

Copyright © algebrafan.uz, 2017-2020 Frontier Theme